两颗编码器的差能不能当扭矩传感器？

现在讲人形机器人关节，几乎都会出现一个配置：电机端一颗高速编码器，减速器输出端再放一颗编码器，做“双编码器全闭环”。

然后规格表开始卷：

17 bit、18 bit、21 bit，几十角秒，几 kHz 更新率。

但我觉得真正值得算的，不是第二颗编码器自己有多准，而是：

两颗编码器一减之后，剩下的那个角度，到底值多少牛米。

因为第二颗编码器真正增加的，并不只是又一个位置量。

它第一次把减速器里面原本看不见的那一段变形暴露出来了。

两个角度一减，减速器内部第一次变得可见

电机端编码器读到 θm，减速比是 N，输出端编码器读到 θo。

理想刚性传动下：

$\theta_o=\theta_m/N$

于是两颗编码器可以做差：

$\delta=\theta_o-\theta_m/N$

实际使用时还要做圆周折返、方向统一和零位对齐，这里先不展开。

如果中间真的是一根完全刚性的轴，δ 应该始终为零。

现实当然不会。

这个差值里面至少混着几样东西：

• 装配零位；

• 减速器自身传动误差；

• 温度引起的零位变化；

• 受力后的弹性扭转；

• 正反转迟滞；

• 动态扭振；

• 两颗编码器不同步造成的假角差。

所以真正拿来做扭矩估计之前，一般还得先测一张无载基线。

比如空载转一圈，得到：

δ0(θ)

实际运行时再扣掉：

δe=δ-δ0

这时候的 δe 才更接近我们真正想看的传动链弹性变形。

这就是双编码器真正有意思的地方。

一颗编码器只能告诉你：

关节走到哪了。

两颗编码器开始能够告诉你：

电机已经走到这里了，输出端为什么还没跟上。

前者是位置。

后者开始变成状态。

但两个角度一减，并不会自动得到牛米

最简单的想法当然是：

τ=Kδe

K 是扭转刚度。

看起来只要知道减速器刚度，两颗编码器一减，就白送了一颗扭矩传感器。

问题就在这里。

谐波减速器根本不是一根理想钢弹簧。

为了不拿一个虚构数字算，我直接选 Harmonic Drive 一个公开型号：

SHF-20-100-2SH。

减速比 100，额定输出扭矩 40 Nm。

厂家给出的扭转刚度不是一个数字，而是三段：

低负载区：

$K_1=1.6\times10^4$

中负载区：

$K_2=2.5\times10^4$

高负载区：

$K_3=2.9\times10^4$

单位都是 Nm/rad。

其中第一段到 7 Nm，第二段到 25 Nm，再往上进入第三段。

这个参数本身已经把一件事说透了：

同样一份角度变形，在不同负载区间，本来就不对应同样的扭矩。

再考虑迟滞、摩擦、温度和加载方向，真实关系只会更复杂。

所以双编码器真正直接测到的，其实不是扭矩。

它直接测到的是：

传动链变形。

从变形换算成牛米，仍然需要模型。

但这并不妨碍我们先算最重要的一笔账。

17 bit，一个 LSB 到底是多少角度

假设输出端是一颗 17 bit 单圈编码器。

一圈被分成：

$2^{17}=131072$

份。

所以：

$\Delta\theta=360^{\circ}/131072$

得到：

Δθ=0.0027466°

换成角秒：

Δθ=9.89″

也就是：

Δθ=0.1648′

所以：

17 bit 的一个 LSB，大约就是 9.9 角秒。

这一步没有什么争议。

真正有意思的是下一步。

把 9.9 角秒换成牛米

还是看这颗 SHF-20-100。

低负载区刚度：

K1=16000

单位是 Nm/rad。

一弧度等于：

$1\,\mathrm{rad}\approx3437.75\,\mathrm{arcmin}$

所以换成每角分：

$K_1=16000/3437.75$

得到：

K1=4.65

也就是低扭矩区大约 4.65 Nm/arcmin。

17 bit 一个 LSB 是：

0.1648′

于是：

Δτ=4.65×0.1648

得到：

Δτ=0.77

也就是说：

在这颗 40 Nm 级谐波减速器的低扭矩区，17 bit 输出编码器的一个 LSB，大约对应 0.77 Nm。

这个数字已经很值得琢磨了。

额定扭矩是 40 Nm。

所以一个 LSB 大约占额定扭矩：

$0.77/40\approx1.9\%$

注意，这还只是数字量化极限。

还没有算：

编码器自己的噪声、INL、安装偏心、输出端轴系误差、减速器传动误差，以及两颗编码器做差之后两边噪声共同进入的问题。

所以不能说：

17 bit 就能做到 0.77 Nm 的扭矩精度。

正确说法是：

在这个机械刚度下，17 bit 的一个数字刻度大约就是 0.77 Nm。

真正能测多小，还得继续往下算。

那如果我想看见 0.1 Nm 呢？

现在反过来算。

低扭矩区：

K1=4.65

如果扭矩变化只有 0.1 Nm，那么对应的角度变化：

$\Delta\theta=0.1/4.65$

得到：

Δθ=0.0215′

换成角秒：

Δθ=1.29″

也就是说：

在这颗减速器上，0.1 Nm 只会让两端产生大约 1.29 角秒的相对变化。

一整圈有：

360×3600=1296000″

所以最低需要的数字刻度数量：

$1296000/1.29\approx1004651$

而：

$2^{19}=524288$

$2^{20}=1048576$

所以纯看量化：

差不多已经需要 20 bit。

这里要注意，是“纯看量化”。

20 bit 只说明一个 LSB 已经进入 0.1 Nm 这个数量级。

它完全没有给噪声和误差留余量。

如果希望一个 0.1 Nm 的变化不是只跳一个格，而是能稳定跨过几个有效刻度，位数还得继续往上。

如果目标再提高一个数量级，做到 0.01 Nm：

Δθ=0.00215′

也就是：

Δθ=0.129″

这时候：

$2^{23}=8388608$

还不够。

$2^{24}=16777216$

才进入这个数量级。

所以“为什么输出端编码器越来越卷 21 bit、23 bit、24 bit”，这里终于有了一个非常具体的解释。

不只是为了让关节停得更准。

当你开始想利用双编码器差值去看传动链状态时，角度的每一个 bit 都会直接被刚度换算成牛米。

还有一个很反直觉的结论：减速器越刚，小扭矩反而越难看见

这一点很容易写反。

还是：

τ=Kδ

所以：

$\delta=\tau/K$

对于同样的 1 Nm：

K 越大，δ 越小。

也就是说：

结构越刚，同样一牛米产生的角差越小。

如果只从“靠两个编码器的角差测力”这件事看，越刚其实越难测。

当然机器人关节不可能为了测力故意做软。

因为机械刚度又直接影响位置环带宽、振动和末端刚性。

所以这里本质上是一个三角矛盾：

机械希望刚。

控制希望快。

角差测力却希望同样的扭矩能产生足够大的可测变形。

这也是为什么不能脱离减速器刚度，单独讨论“输出端编码器需要多少 bit”。

真正更狠的账，其实不是 bit，而是时间

上面的 0.77 Nm 至少还是物理世界真的发生了变形。

下面这个误差，是系统自己凭空造出来的。

两颗编码器如果不是同一个时刻采样，只差了一个 Δ t，关节运动的时候就会产生假角差。

近似可以写成：

δt=ωΔ t

假设输出端转速只有 60 rpm。

也就是每秒一圈：

ω=360°/s

这个速度放在人形机器人关节里并不算离谱。

现在看看时间差会发生什么。

两颗编码器差 100 微秒

先算角度：

Δ t=0.0001

所以：

δt=360°×0.0001

得到：

δt=0.036°

换成角秒：

δt=129.6″

而 17 bit 一个 LSB 只有：

9.89″

所以：

$129.6/9.89\approx13.1$

仅仅 100 微秒不同步，就凭空制造出了 13 个 LSB 的角差。

这时候更有意思的是，把它换算成牛米。

0.036° 等于：

2.16′

但这里已经不能直接拿前面的 K1 一乘到底了。

因为这颗减速器第一段刚度只到 7 Nm。

第一段对应的角变形：

$\delta_1=7/4.65$

得到：

δ1=1.51′

总假角差有：

2.16′

所以还有：

2.16-1.51=0.65′

进入第二段。

第二段刚度换算一下：

$K_2=25000/3437.75$

得到：

K2=7.27

剩下这一段对应：

Δτ=0.65×7.27

得到大约：

Δτ=4.7

加上第一段 7 Nm：

τ≈11.7

考虑前面取值四舍五入，大约就是 11.8 Nm。

注意这个数字。

这是一个额定 40 Nm 的关节。

两颗编码器只是差了 100 微秒。

结果你算出来的“弹性扭矩”里面，可能平白多出接近：

12 Nm。

差不多是额定扭矩的三成。

这已经不是修修滤波器能解决的问题了。

如果差 10 微秒呢？

同样 60 rpm：

Δ t=0.00001

所以：

δt=0.0036°

也就是：

δt=12.96″

已经相当于：

$12.96/9.89\approx1.31$

也就是 1.3 个 17 bit LSB。

换成角分：

δt=0.216′

还在第一段刚度范围内。

所以：

τ=4.65×0.216

得到：

τ=1.00

差 10 微秒，假扭矩已经大约 1 Nm。

再缩到 1 微秒

Δ t=0.000001

得到：

δt=1.296″

刚好非常接近前面算出的：

0.1 Nm 对应 1.29 角秒。

所以：

τ≈0.10

这两个完全独立的计算，在这里撞到了一起。

如果你希望这颗 40 Nm 关节在 60 rpm 时，利用双编码器分辨大约 0.1 Nm，那么仅仅时间同步这一项，就已经要求接近微秒级。

这时候你再去讨论“17 bit 还是 18 bit”，突然就会发现问题没有那么简单。

所以我现在看双编码器，第一个想问的问题已经不是：

这两颗分别多少 bit？

而是：

这两个角度到底是不是同一个时刻的角度？

“两颗都是 10 kHz”并不代表同步

这是工程上特别容易混过去的一句话。

A 编码器 10 kHz。

B 编码器也是 10 kHz。

然后就默认两路是同步的。

完全不是一回事。

假设控制器先读电机端 SPI，再去读输出端 SPI。

哪怕两个接口自己都很快，只要：

采样触发时间不同、内部数字滤波延迟不同、SPI 读取顺序不同、任务调度有抖动，

最终拿到的两个位置就可能不是同一个物理时刻。

而这个误差有一个特别讨厌的特点：

δt=ωΔ t

静止的时候：

ω=0

于是：

δt=0

所以静态标定完全看不出来。

低速的时候也不明显。

一跑快，误差突然冒出来。

而且它正好和速度成正比。

最后你会看到一种特别像机械问题的现象：

速度越高，“估算扭矩”越大。

工程师开始查摩擦。

查润滑。

查谐波减速器效率。

查电机模型。

查刚度温漂。

最后可能只是两颗编码器的数据差了几十微秒。

所以双编码器真正需要的不是简单“高采样率”。

而是：

硬件同步采样，或者至少有可信时间戳，能把两路位置重建到同一个时刻。

lost motion 也不是“空走一段才有扭矩”

还有一个词特别容易讲错。

很多人看到 Harmonic Drive 的 lost motion，就会把它理解成普通齿轮 backlash：

先空走一截。

碰到齿以后才开始传力。

但 Harmonic Drive 官方自己一直强调的是 zero backlash。

它测 lost motion 的方法，是把输入端锁住，在输出端施加大约正负 4% 额定扭矩，然后观察输出端形成的扭转迟滞。

所以这里真正麻烦的不是：

前面几个角秒没有扭矩。

而是：

同样一个角差，不一定对应同一个扭矩。

正向加载走到这里，和反向卸载走到这里，机械内部状态可能不同。

于是可能出现：

δ1=δ2

但：

τ1≠τ2

这才是迟滞真正麻烦的地方。

所以两个编码器的差值，本身只是一个非常干净的数字。

但这个数字背后的机械状态，却不一定唯一。

这也是为什么：

双编码器可以直接测变形，却不能自动变成计量级扭矩传感器。

两颗编码器真正多出来的，到底是什么

双编码器扭矩估计这条路线，其实不是新概念。

早就有研究利用 motor-side 和 load-side 的位置差，结合谐波减速器 compliance 模型来估计关节扭矩。

这里最关键的一句话其实是：

双编码器把原来必须靠模型猜的“减速器变形”，变成了一个直接可测状态。

以前只有电机端编码器。

你想知道输出端受力以后到底扭了多少，只能靠动力学模型估。

现在两边都有编码器：

θm

θo

于是：

$\delta=\theta_o-\theta_m/N$

这一层已经可以直接测。

但下一步：

δ→τ

仍然需要刚度和迟滞模型。

所以它和真正的关节扭矩传感器仍然不是同一回事。

但它已经比“只有一颗编码器，全靠模型猜”向前走了一大步。

有意思的是，还有另一拨人正在想办法把第二颗编码器删掉

这件事反过来看就更有意思了。

工业界现在大量往机器人关节输出端加编码器。

学术界却一直有另一条路线：

能不能只看电机端，就把中间的弹性变形估出来？

这类东西甚至直接叫：

Virtual Torsion Sensor。

思路就是利用电机端位置、电流和动力学模型，估计柔性关节内部的扭转状态。

于是两条路线的区别其实很清楚。

双编码器路线：

θm,θo→δ

再：

δ→τ

单编码器观测器路线：

θm,i→δ

再：

δ→τ

两边都离不开模型。

区别只在于：

双编码器把最关键的机械状态 δ 直接测出来了。

单编码器方案连这个状态本身都要估。

这才是第二颗编码器真正值钱的地方。

不是“又多了一个位置”。

而是：

系统内部第一次多了一个可以被直接观测的机械状态。

所以以后验收双编码器，我反而先看这五件事

第一件不是 bit。

是时间同步。

两颗编码器之间：

Δ t

到底能保证多少？

100 微秒、10 微秒、还是 1 微秒？

第二，无载情况下两颗编码器的差值，有没有跑过整圈。

也就是：

δ0(θ)

有没有建出来。

否则减速器自己的传动误差，很可能直接被当成受力变形。

第三，这张无载基线有没有测温度。

冷机和热机之间如果自己就漂了十几个角秒，已经是几个 17 bit LSB。

第四，正向加载和反向卸载的曲线是不是重复。

如果迟滞环自己都不稳定，再漂亮的编码器也救不了。

第五，最后才看：

bit、INL、noise、bandwidth。

因为真正值得验收的指标不是：

电机端 18 bit，输出端 17 bit。

而应该是：

两颗编码器做完差以后，最终的角度噪声折成多少牛米。

如果目标是 0.1 Nm，就把 0.1 Nm 对应的角度算出来。

如果关节最高跑 60 rpm，就把允许的同步误差算出来。

如果这些数字算完发现已经顶到编码器噪声、时间戳和机械迟滞的极限，规格表上再多一两个 bit 也没有意义。

我现在越来越觉得，“双编码器全闭环”这句话本身没有多少信息量。

真正有信息量的是：

你敢不敢把这两颗编码器做差。

拿一个 40 Nm 级谐波减速器算：

17 bit：0.77

大约就是 0.77 Nm/LSB。

想看见 0.1 Nm：20

纯量化已经接近 20 bit。

关节跑到 60 rpm，又想把不同步造成的假扭矩压到 0.1 Nm 左右：1

采样时间差已经到了约 1 微秒这个量级。

到了这里才会发现：

第二颗编码器最难的从来不是装进去。

而是让：

$\theta_o-\theta_m/N$

真的成为一个有物理意义的数。